Сколько корней имеет уравнение на промежутке [—2π; 2π]? ...

42. Сколько корней имеет уравнение на промежутке [—2π; 2π]?

cos²x – cosx	= 0
sinx

Ответ: A

Решение

В первую очередь определим область допустимых значений (ОДЗ):

Так как знаменатель не может равняться нулю, то sinx ≠ 0. Значит:

х ≠ πk, k ∈ Z.

Дробь равна нулю, если числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю.

В данном случае числитель должен равняться нулю:

cos²x - cosx = 0.

Выносим cosx за скобки:

cosx·(cosx - 1) = 0.

Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю, а остальные имеют смысл (здесь и далее k ∈ Z):

а) cosx = 0.

х = π/2 + πk.

- при k = 0: x = π/2 = 0,5π.

- при k = 1: x = π/2 + π = 1,5π.

- при k = -1: x = π/2 - π = -0,5π.

- при k = -2: x = π/2 - 2π = -1,5π.

- при других значениях k корни не входят в промежуток [-2π; 2π]

б) cosx - 1 = 0.

cosx = 1.

х = 2πk.

Но корни х = 2πk не входят в ОДЗ, т.к. в этом случае знаменатель обращается в нуль. Поэтому эти корни не рассматриваем.

Как видно, в промежуток [-2π; 2π] входит лишь 4 корня данного уравнения.

Категория: Тригонометрия
Все тесты по этому предмету