Решите уравнение: sin2x = 0 sinx + tgx ...

40. Решите уравнение:

sin2x	= 0
sinx + tgx

π/2 + πk, k Є Z

πk, k Є Z

πk/2, k Є Z

Ответ: C

Решение

В первую очередь определим область допустимых значений (ОДЗ):

1) так как знаменатель не может быть нулем, то (sinx + tgx) ≠ 0.

2) так как тангенс для 90° и 270° (повторяясь каждые 360°) не существует, то х ≠ π/2 + πk, k Є Z.

Дробь равна нулю, если числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю.

Поэтому:

Решим уравнение sin2x = 0 и исключим корни, при которых знаменатель обращается в нуль.

Если sin2x = 0, то:

2х = πk, k Є Z.

х = πk/2, k Є Z.

х = πk/2 (k Є Z) означает каждые 90°. На окружности они лежат на концах диаметров.

Но в данном случае в точках х = π/2 + πk (k Є Z) tgx не определен (сверху и снизу на окружности), поэтому эти корни исключаем.

А при х = πk (k Є Z) знаменатель дроби равен нулю (sin0° + tg0° = 0 + 0 = 0). Эти корни тоже исключаются.

Таким образом, данное уравнение не имеет решений Ø.

Если решать эту задачу перебором ответов, то ответы х = πk/2 и х = π/2 + πk сразу исключаются, т.к. при k = 1 получается х = π/2 и х = 3π/2, но тангенс 90° и 270° не существует.

В ответе х = πk знаменатель обращается в нуль (см. выше).

Следовательно, остается ответ Ø.

Дополнительный комментарий:

а) В данном уравнении при х = πk и числитель, и знаменатель равны нулю. Это означает, что дробь может равняться любому числу, не только нулю x = 0/0 = R, где R - множество всех действительных чисел.

б) тангенс 90° (повторяясь каждые 180°) не определен, т.к. tgα = sinα / cosα, а cos90° = 0, но на нуль делить нельзя.

в) котангенс 0° (повторяясь каждые 180°) не определен, т.к. сtgα = cosα / sinα, а sin0° = 0, но на нуль делить нельзя.

Категория: Тригонометрия
Все тесты по этому предмету

Решите уравнение: sin2x = 0 sinx + tgx ...

Решение

Рекомендуется посмотреть и остальные тесты