Сколько корней на отрезке [0; 5π] имеет уравнение: sin2x = ( ...

43. Сколько корней на отрезке [0; 5π] имеет уравнение: sin2x = (cosx – sinx)²?

A)	2
B)	8
C)	4
D)	10

Ответ: D

Решение

Воспользуемся формулой квадрата разности двух чисел и формулой синуса двойного угла:

(a - b)² = a² - 2ab + b²

sin2α = 2sinα cosα

Получаем:

sin2x = cos²x - 2sinxcosx + sin²x = (sin²x + cos²x) - sin2x = 1 - sin2x.

Здесь применили основное тригонометрическое тождество sin²x + cos²x = 1.

Такми образом:

sin2x = 1 - sin2x.

2sin2x = 1.

sin2x = 1/2.

Так как х ∈ [0; 5π], то:

2х ∈ [0; 10π],

т.е. расширяем промежуток для более быстрого расчета количества корней.

Прямая y = 1/2 пересекает единичную окружность в двух местах, в I и во II четвертях.

Так как промежуток [0; 10π] составляет 5 кругов, то 2·5 = 10 корней.

Категория: Тригонометрия
Все тесты по этому предмету