Коэффициенты квадратного уравнения ах2 + bх + c = 0 удовлетворяют ...

28. Коэффициенты квадратного уравнения ах² + bх + c = 0 удовлетворяют равенству b = а + с. Найдите x₁/х₂ + x₂/х₁ - 2, где x₁ и х₂ - корни данного уравнения.

A)	1/a – 1/c
B)	a/c + c/a
C)	1/a + 1/c
D)	(a – c)²/ac

Ответ: D

Решение

Общий вид квадратного уравнения: ax² + bx + с = 0, где a - I коэффициент, b - II коэффициент, с - III коэффициент или свободный член.

По теореме Виета:

x₁ * x₂ = c/a.

x₁ + x₂ = - b/a.

То есть, при a = 1, произведение корней квадратного уравнения равно свободному члену (с), а сумма корней равна II коэффициенту, взятому с противоположным знаком (-b).

Например:

x² + 5x + 6 = 0. Значит:

x₁*x₂ = 6,

x₁+x₂ = -5.

То есть x₁ = -2, x₂ = -3.

Еще пример:

9x² - 7x + 8 = 0. Значит:

x₁*x₂ = 8/9,

x₁+x₂ = 7/9.

В данном случае есть квадратное уравнение ах² + bх + c = 0, где по теореме Виета:

x₁*x₂ = c/a.

x₁+x₂ = -b/a.

Приведем к общему знаменателю выражение x₁/х₂ + x₂/х₁ - 2 (общий знаменатель x₁х₂):

(x₁² + x₂² - 4x₁х₂) / x₁х₂.

Подставим имеющиеся данные:

(b²/a² - 4c/a) : c/a = (b² - 4ac)/a² * a/c.

Сокращаем числитель и знаменатель на a, и заменяем b на (a + c) согласно условию:

((a + c)² - 4ac) / ac.

Раскроем скобки:

(a² + c² + 2ac - 4ac) / ac = (a² + c² - 2ac) / ac = (a - c)² / ac.

Доп. комментарий:

Деление дробей можно заменить на умножение, "перевернув" дробь-делитель (т.е. 3/4 : 2/5 = 3/4 * 5/2).

Категория: Алгебра
Все тесты по этому предмету

Коэффициенты квадратного уравнения ах2 + bх + c = 0 удовлетворяют ...

Решение

Рекомендуется посмотреть и остальные тесты