Найдите произведение корней уравнения 4|х - 2| = 3 + (х - 2)2. ...

26. Найдите произведение корней уравнения 4\|х - 2\| = 3 + (х - 2)².

A)	-3
B)	3
C)	15
D)	-15

Ответ: D

Решение

Модуль числа - это расстояние на числовой оси от нуля до данного числа. Модуль числа не может быть отрицательным.

Модуль положительного числа и числа нуль есть само это число: |10| = 10, |6| = 6, |0| = 0.

Модуль отрицательного числа равен ему противоположному: |-4| = -(-4) = 4, |-10| = -(-10) = 10.

Другими словами:

|х| = х, если х≥0;

|х| = -х, если х<0.

Например:

1) если |х| = 3, то х = ±3;

2) если |х| = 0, то х = 0;

3) |х| = -9, так не бывает.

В данном случае воспользуемся методом замены переменных: |х - 2| = t, t > 0.

Тогда:

4t = 3 + t².

Получаем квадратное уравнение:

t² - 4t + 3 = 0, где по теореме Виета:

t₁*t₂ = 3;

t₁+t₂ = 4.

То есть:

t₁ = 3;

t₂ = 1.

1) При t = 3:

|х - 2| = 3.

Возможны два варианта (см. выше свойства модуля):

х - 2 = 3;

х - 2 = -3.

Тогда:

х = 5 и х = -1.

2) При t = 1.

Также возможны два варианта:

х - 2 = 1;

х - 2 = -1.

Тогда:

х = 3 и х = 1.

Находим произведение корней исходного уравнения:

5 * (-1) * 3 * 1 = -15.

Доп. комментарий:

Метод замены переменной заключается в том, что вместо сложного выражения вводится новая переменная, позволяющая сократить первоначальные расчеты.

Категория: Алгебра
Все тесты по этому предмету