z1 и z2 - корни уравнения z2 + pz + q = 0. Если каждый корень это ...

23. z₁ и z₂ - корни уравнения z² + pz + q = 0. Если каждый корень этого уравнения увеличить на 4 и из полученных чисел составить новое уравнение, то свободный его член будет равен q + 68. Найдите р.

A)	-10
B)	-14
C)	-13
D)	-11

Ответ: C

Решение

Общий вид квадратного уравнения: ax² + bx + с = 0, где a - I коэффициент, b - II коэффициент, с - III коэффициент или свободный член.

По теореме Виета:

x₁ * x₂ = c/a.

x₁ + x₂ = - b/a.

То есть, при a = 1, произведение корней квадратного уравнения равно свободному члену (с), а сумма корней равна II коэффициенту, взятому с противоположным знаком (-b).

Например:

x² + 5x + 6 = 0. Значит:

x₁*x₂ = 6,

x₁+x₂ = -5.

То есть x₁ = -2, x₂ = -3.

Еще пример:

9x² - 7x + 8 = 0. Значит:

x₁*x₂ = 8/9,

x₁+x₂ = 7/9.

В данном случае есть квадратное уравнение z² + pz + q = 0, где по теореме Виета:

z₁ * z₂ = q;

z₁ + z₂ = -p.

По условию требуется увеличить каждый корень уравнения на 4. То есть корни нового квадратного уравнения будут (z₁ + 4) и (z₂ + 4).

Произведение этих корней равно свободному члену, который по условию для нового уравнения равен q + 68.

То есть:

(z₁ + 4) * (z₂ + 4) = q + 68.

Раскроем скобки:

z₁z₂ + 4z₁ + 4z₂ + 16 = q + 68.

Подставим имеющиеся данные:

q + 4(-p) + 16 = q + 68.

q - 4p - q = 68 - 16 = 52.

4p = -52.

p = -52 / 4 = -13.

Категория: Алгебра
Все тесты по этому предмету

z1 и z2 - корни уравнения z2 + pz + q = 0. Если каждый корень это ...

Решение

Рекомендуется посмотреть и остальные тесты