Найдите наибольшее целое значение k, при котором уравнение kz2 + ...

24. Найдите наибольшее целое значение k, при котором уравнение kz² + 2(k - 12)z + 6/5 = 0 не имеет действительных корней.

A)	20
B)	18
C)	16
D)	17

Ответ: C

Решение

Общий вид квадратного уравнения: ax² + bx + с = 0, где a - I коэффициент, b - II коэффициент, с - III коэффициент или свободный член.

Квадратное уравнение имеет два различных действительных корня, если у него дискриминант больше 0 (D > 0).

Квадратное уравнение имеет один единственный корень, если у него дискриминант равен 0 (D = 0).

Квадратное уравнение не имеет действительных корней, если у него дискриминант меньше 0 (D < 0).

Дискриминант вычисляется по формуле: D = b² - 4ac.

В данном случае I коэффициент a = k, II коэффициент b = 2(k - 12), III коэффициент с = 6/5.

D = (2(k - 12))² - 4*k*6/5.

По условию сказано, что уравнение не должно иметь действительных корней, т.е. дискриминант должен быть меньше нуля (D < 0).

Таким образом:

(2(k - 12))² - 4*k*6/5 < 0.

4(k - 12)² - 4*k*6/5 < 0. Разделим обе части на 4:

(k - 12)² - 6/5k < 0.

k² - 24k + 144 - 6/5k < 0.

k² - 25,2k + 144 < 0.

Дискриминант полученного уравнения:

25,2² - 4*1*144 = 635,04 - 576 = 59,04.

Находим корни этого уравнения по формуле:

или x₁,x₂ = (-b ± √D) / 2a.

k₁ = (25,2+√59,04) / 2 ≈ 16,44.

k₂ = (25,2-√59,04) / 2 ≈ 8,76.

При k < 8,75 и k > 16,44 уравнение k² - 25,2k + 144 > 0 (не подходит, т.к. должно быть меньше нуля).

При 8,75 < k < 16,44 уравнение k² - 25,2k + 144 < 0 (подходит).

Так как по условию требуется найти наибольшее целое значение k, то на промежутке (8,75; 16,44) им является число 16.

Есть более простой способ решить этот тест. Нужно перебрать ответы:

1) 20z² + 2(20-12)z + 6/5 = 0.

20z² - 16z + 6/5 = 0. Делим обе части на 4:

5z² + 4z + 0,3 = 0.

D = b² - 4ac = 4² - 4*5*0,3 = 16 - 6 = 10 (10 > 0, поэтому не подходит, т.к. дискриминант должен быть меньше нуля).

Таким же образом перебираем остальные ответы и только при k = 16 дискриминант меньше нуля:

16z² - 2(16-12)z + 6/5 = 0.

16z² - 8z + 6/5 = 0. Делим обе части на 8:

2z² - z + 0,15 = 0.

D = b² - 4ac = 1² - 4*2*0,15 = 1 - 1,2 = -0,2 (подходит, т.к. дискриминант меньше нуля).

Категория: Алгебра
Все тесты по этому предмету