Choose the appropriate non-finite form of the verb.He has a desir ...

У него есть желание быть приглашенным на вечеринку.

Страдательный залог (быть приглашенным): to be + Past Participle (is gone, were taken, will/shall be invented, have/has/had been given).

Есть желание (что сделать?) быть приглашенным - неопределенная форма глагола соответствует инфинитиву (to work, to take, to know), поэтому в данном случае: a desire to be invited.