Решите уравнение: sin2х + tgх = 2. A) π/4 + ` ...

Ответ: A

Решение

Данное задание проще всего решить перебором ответов.

Например, при k = 0 ответы принимают вид:

π/4, -π/4, -π/6, π/6.

Подставив поочередно эти значения в исходное уравнение, увидим правильный ответ:

а) x = π/4 = 45°.

sin2·45° + tg45° = sin90° + tg45° = 1 + 1 = 2.

В принципе, дальше можно не перебирать ответы, т.к. уже нашли верный.

Полное решение (здесь и далее k Є Z):

В первую очередь определим область допустимых значений (ОДЗ).

Так как tgx при х = π/2 + πk не определен, то х ≠ π/2 + πk.

Применим формулу синуса двойного угла:

1 + tg²α

sin2α	=	2tgα

Для удобства расчетов заменим tgx на t:

2t / (1 + t²) + t - 2 = 0.

Обе части уравнения умножим на (1 + t²) ≠ 0, чтобы избавить от знаменателя.

2t + (t - 2)·(1 + t²) = 0.

2t + t - 2 + t³ - 2t² = 0.

t³ - 2t² + 3t - 2 = 0.

Сгруппируем слагаемые так, чтобы можно было левую часть разложить на множители:

(t³ - 1) - (2t² - 3t + 1) = 0.

Первую группу разложим по формуле разности двух кубов:

t³ - 1³ = (t - 1)·(t² + t + 1).

Вторую группу разложим на линейные множители по соответствующей формуле:

2t² - 3t + 1 = 2·(t - 1)(t - 0,5) = (t - 1)(2t - 1).

Получаем уравнение:

(t - 1)·(t² + t + 1) - (t - 1)(2t - 1) = 0.

Вынесем общий множитель (t - 1) за скобки:

(t - 1)(t² + t + 1 - 2t + 1) = 0.

(t - 1)(t² - t + 2) = 0.

Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю, а другие имеют смысл.

В данном случае либо (t - 1) = 0, либо (t² - t + 2) = 0.

Квадратный трехчлен (t² - t + 2) не имеет действительных корней, т.к. его дискриминант меньше нуля (D = b² - 4ac = 1 - 4·2 = 1 - 8 = -7).

Остается только:

t - 1 = 0.

t = 1.

tgx = 1.

x = π/4 + πk, k Є Z.

Категория: Тригонометрия
Все тесты по этому предмету