Решите неравенство: 4cos2х - 3 ≥ 0. A) [-π ...

Ответ: A

Решение

Воспользуемся формулой понижения степени косинуса:

cos²α	=	1 + cos2α

Получаем:

4 · (1 + cos2x) / 2 - 3 = 2 · (1 + cos2x) - 3 = 2 + 2cos2x - 3 ≥ 0.

2cos2x ≥ 1.

cos2x ≥ 1/2.

Так как косинус - это абсцисса точки, соответствующей углу α, то проведем на единичной окружности прямую х = 1/2 параллельно оси ординат.

Прямая пересечет окружность в двух точках:

P₁ = arccos 1/2 = π/3;

P₂ = -arccos 1/2 = -π/3.

Неравенству cos2x ≥ 1/2 удовлетворяют точки меньшей дуги.

Найдем все точки меньшей дуги:

2х ∈ [-π/3; π/3].

Учитывая период косинуса 2π, т.е. точки повторяются каждые 360°, определим все решения данного неравенства:

2х ∈ [-π/3 + 2πk; π/3 + 2πk], k ∈ Z.

х ∈ [-π/6 + πk; π/6 + πk], k ∈ Z.

Можно решить это задание гораздо быстрее, если перебрать ответы:

а) При х = π/3 получаем:

4cos²(π/3) - 3 = 4·(1/2)² - 3 = 4·1/4 - 3 = 1 - 3 = -2 < 0.

Как видно, х = π/3 не удовлетворяет условию, т.к. должно быть больше или равно нулю. Эти ответы вычеркиваем.

б) Оставшиеся ответы рассмотрим при k = 1:

Возьмем значение х = π, т.к. оно есть в одном ответе, но нет в другом.

Получаем:

4cos²π - 3 = 4·(-1)² - 3 = 4·1 - 3 = 1 > 0.

Как видно, х = π удовлетворяет условию, поэтому ответ, содержащий это значение верный: [-π/6 + πk; π/6 + πk].

Категория: Тригонометрия
Все тесты по этому предмету