42. При каких значениях х верно неравенство cos2х – 5/2 cosх + 1 ≤ 0 х Є [0; 2π] ? |
|
A) |
[5π/3; 2π] |
B) |
[0; π/3] |
C) |
[0; π/3] U [5π/3; 2π] |
D) |
[π/3; π/2] U [3π/2; 5π/3] |
Ответ: C
Для удобства расчетов заменим cosх на t и получим квадратное уравнение (причем -1 ≤ t ≤ 1, т.к. косинус принимает значения только от -1 до 1 включительно):
t2 - 5/2 t + 1 ≤ 0.
Умножим обе части на 2, чтобы избавиться от дробей:
2t2 - 5t + 2 ≤ 0.
Решим методом интервалов.
Найдем нули выражения 2t2 - 5t + 2:
Дискриминант вычислим по формуле D = b2 - 4ac:
D = (-5)2 - 4·2·2 = 25 - 16 = 9.
Нули найдем по формулам:
Получаем:
t1 = (5 - √9) / 2·2 = (5 - 3) / 4 = 2/4 = 1/2.
t2 = (5 + √9) / 2·2 = (5 + 3) / 4 = 8/4 = 2.
Отметим полученные нули на числовой оси.
Выражение 2t2 - 5t + 2 меньше или равно нулю на интервале [0,5; 2].
На интервалах (-∞; 0,5) и (2; ∞) значения выражения больше нуля и не являются решением неравенства.
Так как выше обозначили, что -1 ≤ t ≤ 1, то интервал сужается до [0,5; 1].
Так как cosx ≤ 1 верно при всех х ∈ R, то рассмотрим только cosx ≥ 0,5.
Для этого на единичной окружности проведем прямую x = 0,5 = 1/2 параллельно оси ординат.
Прямая пересечет окружность в двух точках:
P1 = arccos 1/2 = π/3;
P2 = -arccos 1/2 = -π/3.
Неравенству cosx ≥ 0,5 удовлетворяют лишь точки меньшей дуги (где 1/2 ≤ х ≤ 1 на оси абсцисс).
В условии требуется найти углы из промежутка [0; 2π], т.е. от 0° до 360°.
Углы меньшей дуги соответствуют [0; π/3] (от 0° до 60°) и [5π/3; 2π] (от 300° до 360°).
Таким образом, неравенство верно при х Є [0; π/3] U [5π/3; 2π].
Категория: Тригонометрия |
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
Там мы публикуем различные ЕГЭ и DTM варианты, решения школьных экзаменов, видеоуроки и многое другое.
Абитуриентам
Сборники тестов, Узбекистан
DTM варианты
Онлайн ДТМ тестирование
Решебники
Онлайн тестирование
Английский язык
Русский язык
Математика
Биология
География
История
База знаний по предметам
Физика
Математика
Информатика
Литература
Английский язык
Русский язык
Химия
История
География
Биология
"Test-Uz.Ru" © 2014-2024. Информационный портал для школьников, абитуриентов, студентов и учителей