При каких значениях х верно неравенство cos2х – 5/2 cosх + 1 X ...

42. При каких значениях х верно неравенство cos2х – 5/2 cosх + 1 ≤ 0 х Є [0; 2π] ?

A)

[5π/3; 2π]

B)

[0; π/3]

C)

[0; π/3] U [5π/3; 2π]

D)

[π/3; π/2] U [3π/2; 5π/3]

Ответ: C

Решение

Для удобства расчетов заменим cosх на t и получим квадратное уравнение (причем -1 ≤ t ≤ 1, т.к. косинус принимает значения только от -1 до 1 включительно):

t2 - 5/2 t + 1 ≤ 0.

Умножим обе части на 2, чтобы избавиться от дробей:

2t2 - 5t + 2 ≤ 0.

Решим методом интервалов.

Найдем нули выражения 2t2 - 5t + 2:

Дискриминант вычислим по формуле D = b2 - 4ac:

D = (-5)2 - 4·2·2 = 25 - 16 = 9.

Нули найдем по формулам:

Получаем:

t1 = (5 - √9) / 2·2 = (5 - 3) / 4 = 2/4 = 1/2.

t2 = (5 + √9) / 2·2 = (5 + 3) / 4 = 8/4 = 2.

 

Отметим полученные нули на числовой оси.

Выражение 2t2 - 5t + 2 меньше или равно нулю на интервале [0,5; 2].

На интервалах (-∞; 0,5) и (2; ∞) значения выражения больше нуля и не являются решением неравенства.

 

Так как выше обозначили, что -1 ≤ t ≤ 1, то интервал сужается до [0,5; 1].

Так как cosx ≤ 1 верно при всех х ∈ R, то рассмотрим только cosx ≥ 0,5.

Для этого на единичной окружности проведем прямую x = 0,5 = 1/2 параллельно оси ординат.

Прямая пересечет окружность в двух точках:

P1 = arccos 1/2 = π/3;

P2 = -arccos 1/2 = -π/3.

Неравенству cosx ≥ 0,5 удовлетворяют лишь точки меньшей дуги (где 1/2 ≤ х ≤ 1 на оси абсцисс).

 

В условии требуется найти углы из промежутка [0; 2π], т.е. от до 360°.

Углы меньшей дуги соответствуют [0; π/3] (от 0° до 60°) и [5π/3; 2π] (от 300° до 360°).

 

Таким образом, неравенство верно при х Є [0; π/3] U [5π/3; 2π].



Категория: Тригонометрия
Все тесты по этому предмету

Рекомендуется посмотреть и остальные тесты

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20


Поиск

Там мы публикуем различные ЕГЭ и DTM варианты, решения школьных экзаменов, видеоуроки и многое другое.

Абитуриентам

ЦТ, Беларусь

Сборники тестов, Узбекистан
DTM варианты
Онлайн ДТМ тестирование

Решебники

Физика
Математика

Онлайн тестирование

Английский язык Английский язык
Русский язык Русский язык
Математика Математика
Биология Биология
География География
История История

База знаний по предметам

Физика Физика
Математика Математика
Информатика Информатика
Литература Литература
Английский язык Английский язык
Русский язык Русский язык
Химия Химия
История История
География География
Биология Биология

Все разделы

"Test-Uz.Ru" © 2014-2024. Информационный портал для школьников, абитуриентов, студентов и учителей

О сайте | Обратная связь