Укажите количество корней уравнения на промежутке [0; 4π]: ...

41. Укажите количество корней уравнения на промежутке [0; 4π]:

sin²x + sinx	= 0
cosx

Ответ: B

Решение

В первую очередь определим область допустимых значений (ОДЗ):

Так как знаменатель не может равняться нулю, то cosx ≠ 0. Значит:

х ≠ π/2 + πk, k ∈ Z.

Дробь равна нулю, если числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю.

В данном случае числитель должен равняться нулю:

sin²x + sinx = 0.

Выносим sinx за скобки:

sinx·(sinx + 1) = 0.

Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю, а остальные имеют смысл (здесь и далее k ∈ Z):

а) sinx = 0.

х = πk.

- при k = 0: x = 0.

- при k = 1: x = π.

- при k = 2: x = 2π.

- при k = 3: x = 3π.

- при k = 4: x = 4π.

- при других значениях k корни не входят в промежуток [0; 4π]

б) sinx + 1 = 0.

sinx = -1.

х = -π/2 + πk.

Но корни х = π/2 + πk не входят в ОДЗ, т.к. в этом случае знаменатель обращается в нуль. Поэтому эти корни не рассматриваем.

Как видно, в промежуток [0; 4π] входит лишь 5 корней данного уравнения.

Категория: Тригонометрия
Все тесты по этому предмету