Решите уравнение: tgx·tg3x = -1. A) πk/2, k Є Z ...

40. Решите уравнение: tgx·tg3x = -1.

A)

πk/2, k Є Z

B)

π/4 + πk, k Є Z

C)

π/4 + πk/2, k Є Z

D)

πk, k Є Z

Ответ: C

Решение

В первую очередь определяем область допустимых значений (ОДЗ):

Тангенс для 90° и 270° (повторяясь каждые 360°) не существует, поэтому х ≠ π/2 + πk и 3х ≠ π/2 + πk, k Є Z.

 

Применим формулу:

cosα
tgα = sinα

Получаем:

tgx·tg3x = sinx/cosx · sin3x/cos3x = sinxsin3x / cosxcos3x = -1.

Воспользуемся свойством пропорции, по которому произведение крайних членов равно произведению средних:

sinxsin3x = -cosxcos3x.

Переносим всё в левую часть:

sinxsin3x + cosxcos3x = 0.

Теперь можно применить формулу косинуса разности двух углов:

cos(α - β) = cosα cosβ + sinα sinβ

sinxsin3x + cosxcos3x = cos(3x - x) = cos2x = 0.

 

Таким образом (k Є Z):

2х = π/2 + πk.

х = π/4 + πk/2.

 

Дополнительный комментарий:

а) тангенс 90° (повторяясь каждые 180°) не определен, т.к. tgα = sinα / cosα, а cos90° = 0, но на нуль делить нельзя.

б) котангенс (повторяясь каждые 180°) не определен, т.к. сtgα = cosα = cos / sinα, а sin0° = 0, но на нуль делить нельзя.



Категория: Тригонометрия
Все тесты по этому предмету

Рекомендуется посмотреть и остальные тесты

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20


Поиск

Там мы публикуем различные ЕГЭ и DTM варианты, решения школьных экзаменов, видеоуроки и многое другое.

Абитуриентам

ЦТ, Беларусь

Сборники тестов, Узбекистан
DTM варианты
Онлайн ДТМ тестирование

Решебники

Физика
Математика

Онлайн тестирование

Английский язык Английский язык
Русский язык Русский язык
Математика Математика
Биология Биология
География География
История История

База знаний по предметам

Физика Физика
Математика Математика
Информатика Информатика
Литература Литература
Английский язык Английский язык
Русский язык Русский язык
Химия Химия
История История
География География
Биология Биология

Все разделы

"Test-Uz.Ru" © 2014-2024. Информационный портал для школьников, абитуриентов, студентов и учителей

О сайте | Обратная связь