Сколько корней, принадлежащих [0; 16π/3], имеет уравнение: ...

43. Сколько корней, принадлежащих [0; 16π/3], имеет уравнение:

1 + cosx	= 2cos	x	?
sinx		2

Ответ: B

Решение

В первую очередь определим область допустимых значений (ОДЗ):

Так как на нуль делить нельзя, то знаменатель не должен равняться нулю, т.е. sinx ≠ 0. Значит:

х ≠ πk, k ∈ Z.

Воспользуемся формулами понижения степени косинуса и синуса двойного угла:

1 + cosα = 2cos²(α/2)

sinα = 2sin(α/2)cos(α/2)

Получаем:

2cos²(x/2) / 2sin(x/2)cos(x/2) = 2cos(x/2).

Числитель и знаменатель можно сократить на 2cos(x/2):

cos(x/2) / sin(x/2) = 2cos(x/2).

Умножим обе части уравнения на sin(x/2), чтобы избавиться от знаменателя (при sin(x/2) ≠ 0):

cos(x/2) = 2cos(x/2)·sin(x/2).

Перенесем все в левую часть и вынесем cos(x/2) за скобки:

cos(x/2) - 2cos(x/2)·sin(x/2) = cos(x/2)·(1 - 2sin(x/2)) = 0.

Чтобы произведение равнялось нулю, хотя бы один из множителей должен равняться нулю, а другие при этом иметь смысл.

Получаем:

а) cos(x/2) = 0.

x/2 = π/2 + πk, k ∈ Z.

x = π + 2πk, k ∈ Z.

б) 1 - 2sin(x/2) = 0.

2sin(x/2) = 1.

sin(x/2) = 1/2.

x/2 = (-1)^k·arcsin 1/2 + πk = (-1)^k·(π/6) + πk, k ∈ Z.

x = (-1)^k·(π/3) + 2πk, k ∈ Z.

Как мы определили выше, корень x = π + 2πk не входит в ОДЗ.

Значит рассмотрим только корни x = (-1)^k·(π/3) + 2πk, k ∈ Z.

Проверим какие корни входят в промежуток [0; 16π/3] как требуется по условию:

а) при k = 0:

х = (-1)⁰·(π/3) + 2π·0 = 1·(π/3) = π/3.

б) при k = 1:

х = (-1)¹·(π/3) + 2π·1 = -1·(π/3) + 2π = -π/3 + 2π = 5π/3.

в) при k = 2:

(-1)²·(π/3) + 2π·2 = 1·(π/3) + 4π = π/3 + 4π = 13π/3.

г) при k = 3:

(-1)³·(π/3) + 2π·3 = -1·(π/3) + 6π = -π/3 + 6π = 17π/3.

При всех k ≥ 3 корни больше, чем 16π/3.

Как видно, в промежуток [0; 16π/3] входит только 3 корня.

Категория: Тригонометрия
Все тесты по этому предмету