Решите неравенство: (sinх – cosx)2 < sin2х. A) (π ...

41. Решите неравенство: (sinх – cosx)² < sin2х.

A)	(π/12 + πk; 5π/12 + πk), k Є Z
B)	(π/3 + 2πk; 2π/3 + 2πk), k Є Z
C)	(π/6 + 2πk; 5π/6 + 2πk), k Є Z
D)	(-7π/12 + πk; π/12 + πk), k Є Z

Ответ: A

Решение

Воспользуемся формулой квадрата разности двух чисел и формулой синуса двойного угла:

(a - b)² = a² - 2ab + b²

sin2α = 2sinα cosα

Получаем:

sin²x + cos²x - 2sinxcosx < sin2х.

1 - sin2х < sin2х.

1 < 2sin2х.

sin2х > 1/2.

Здесь применили основное тригонометрическое тождество sin²x + cos²x = 1.

Так как sinx - это ордината точки, соответствующей углу х, то проводим прямую y = 1/2, которая пересекает единичную окружность в двух точках 2х = π/6 и 2х = п - π/6 = 5π/6 (arcsin 1/2 = 30° = π/6).

Нас интересуют точки, ординаты которых больше 1/2.

Таким образом:

2х ∈ (π/6 + 2πk; 5π/6 + 2πk), k Є Z.

х ∈ (π/12 + πk; 5π/12 + πk), k Є Z. Так как arcsin 1/2 = 30° = π/6, то проводим прямую

Категория: Тригонометрия
Все тесты по этому предмету

Решите неравенство: (sinх – cosx)2 < sin2х. A) (π ...

Решение

Рекомендуется посмотреть и остальные тесты