Решите уравнение: (1 + cosx) · tg x/2 + 1 = 0. A) ...

Ответ: B

Решение

В первую очередь определим область допустимых значений (ОДЗ):

Так как тангенс 90° (π/2) не существует, то в данном случае:

x/2 ≠ π/2 или же x ≠ π + 2πk, k Є Z.

Применим формулу половинного угла:

1 + cosα = 2cos²(α/2)

Получаем:

2cos²(x/2) · sin(x/2) / cos(x/2) + 1 = 0.

Здесь применили формулу: tgx = sinx/cosx.

Сокращаем числитель и знаменатель на cos x/2. Получаем:

2cos(x/2) · sin(x/2) = -1.

sinx = -1.

Здесь применили формулу синуса двойного угла:

sin2α = 2sinα cosα

Таким образом:

х = -π/2 + 2πk, k Є Z.

Кроме того, можно ускорить процесс решения, если перебрать ответы:

Так как ОДЗ x ≠ π + 2πk, k Є Z, то сразу вычеркиваем ответы π + πk и πk.

Из оставшихся подставляем:

при х = π/2 + 2πk, k Є Z:

(1 + cos(π/2)) · tg(π/4) + 1 = 0.

(1 + 0)·1 + 1 = 2 ≠ 0

Значит этот ответ не подходит.

Остается лишь -π/2 + 2πk, k Є Z.

Категория: Тригонометрия
Все тесты по этому предмету