Решите уравнение: 2sin2x - 5sin(0,5π - х) = -5. A ...

Ответ: A

Решение

1) Применим формулу приведения тригонометрической функции sin (π/2 – α) = cosα:

2sin²x - 5sin(0,5π - х) = 2sin²x - 5cosх = -5.

2) Из основного тригонометрического тождества sin²α + cos²α = 1 выводим:

sin²α = 1 - cos²α.

3) Заменяем sin²x:

2sin²x - 5cosх + 5 = 2·(1 - cos²x) - 5cosх + 5 = 2 - 2cos²α - 5cosх + 5 = 7 - 2cos²α - 5cosх = 0.

4) Примем cosх за t (-1 ≤ t ≤ 1) и получим квадратное уравнение:

7 - 2t² - 5t = 0.

Умножим обе части уравнения на -1, чтобы избавиться от минусов:

2t² + 5t - 7 = 0.

5) Находим дискриминант по формуле D = b² - 4ac:

D = 5² - 4·2·(-7) = 25 + 56 = 81.

Корни уравнения находим по формулам:

Получаем:

t₁ = (-5 + 9)/(2·2) = 1.

t₂ = (-5 - 9)/(2·2) = -14/4 = -3,5.

6) Так как t находится в промежутке -1 ≤ t ≤ 1, то подходит лишь один корень t = 1.

Итак:

cosx = 1.

x = 2πk, k Є Z.

Категория: Тригонометрия
Все тесты по этому предмету