Упростите выражение: cos4a — cos2a + sin2a sin4a — sin2a ...

42. Упростите выражение:

cos⁴a — cos²a + sin²a

sin⁴a — sin²a + cos²a

ctg⁴a

1/2 tg²a

tg⁴a

tg²a

Ответ: C

Решение

В числителе и знаменателе группируем схожие слагаемые и выносим общий множитель за скобки.

1) В числителе:

(cos⁴a — cos²a) + sin²a = cos²a·(cos²a - 1) + sin²a = cos²a·(-sin²a) + sin²a = sin²a·(-cos²a + 1) = sin²a·sin²a = sin⁴a.

Здесь применили формулу основного тригонометрического тождества sin²α + cos²α = 1, из которого следует формула cos²α - 1 = -sin²α.

2) В знаменателе:

(sin⁴a — sin²a) + cos²a = sin²a·(sin²a — 1) + cos²a = sin²a·(-cos²a) + cos²a = cos²a·(-sin²a + 1) = cos²a·(1 - sin²a) = cos²a·cos²a = cos⁴a.

Здесь также применили формулу основного тригонометрического тождества sin²α + cos²α = 1, из которого следует формула sin²α - 1 = -cos²α.

3) Таким образом, получаем:

sin⁴a / cos⁴a = tg⁴a.

Здесь применили формулу: tga = sina / cosa.

Категория: Тригонометрия
Все тесты по этому предмету