Радиус окружности 6. Перпендикуляр, опущенный из точки окружности ...

47. Радиус окружности 6. Перпендикуляр, опущенный из точки окружности на диаметр, делит его в отношении 1:3. Найдите длину перпендикуляра.

A)	4
B)	3,6
C)	3√3
D)	3√2

Ответ: C

Решение

Диаметр окружности — это отрезок, соединяющий две точки на окружности и проходящий через центр окружности. Диаметр равен двум радиусам.

Радиус окружности — это отрезок, соединяющий центр окружности с любой точкой, лежащей на окружности. Радиус составляет половину диаметра.

В данном случае:

Радиус окружности OB = OA = 6.

Диаметр окружности AB = 6 · 2 = 12, т.к. диаметр в два раза больше радиуса.

Диаметр окружности. Перпендикуляр, опущенный из точки окружности на диаметр.

Так как по условию задачи перпендикуляр, опущенный из точки окружности C на диаметр, делит его в отношении 1:3, то диаметр разбивается на два отрезка AD = 3 и BD = 9 (1 + 3 = 4 части составляют длину диаметра 12, значит одна часть 12/4 = 3; вторая, соответственно, 3·3=9).

Таким образом, получается прямоугольный треугольник ABC, где угол C является прямым (90°), т.к. опирается на диаметр и измеряется половиной дуги AB (180°).

CD является высотой треугольника ABC.

AD является проекцией катета AC, а BD - проекцией катета BC на гипотенузу.

Используем теорему, по которой CD есть среднее пропорциональное между проекциями AD и BD.

Получаем:

AD : CD = CD : BD.

3 : CD = CD : 9.

Воспользуемся свойством пропорции, по которому произведение крайних членов пропорции равно произведению средних:

CD · CD = 3 · 9.

CD² = 27.

CD = 3√3.

Категория: Геометрия
Все тесты по этому предмету

Радиус окружности 6. Перпендикуляр, опущенный из точки окружности ...

Решение

Рекомендуется посмотреть и остальные тесты