Найдите первообразную функции f(х) = 2х – 1/х2 + cos2x. ...

39. Найдите первообразную функции f(х) = 2х – 1/х² + cos2x.

A)	х² - 1/x + 1/2sin2x + C
B)	х² + 1/x + 1/2sin2x + C
C)	х² + 1/x - 1/2sin2x + C
D)	х² - 1/x - 1/2sin2x + C

Ответ: B

Решение

Дифференцируемая функция F(x) называется первообразной от функции f(x) на данном промежутке, если для всех значений х из этого промежутка справедливо равенство: F'(x) = f(x).

В данном случае нужно найти первообразную F(x).

1) Применим формулы:

1) ∫xⁿdx = (xⁿ⁺¹)/(n+1).

2) ∫cosxdx = sinx.

Запишем дробь 1/x² в виде отрицательной степени х^-2.

Получаем:

f(x) = 2x¹ - x^-2 + cos2x.

2) Учитываем, что если в сложных функциях перед x есть коэффициент k, то перед первообразной функцией появляется 1/k. В данном случае в функции cos2x коэффициент k = 2, значит перед функцией sinx появляется 1/k = 1/2.

Найдем первообразную:

2*x¹⁺¹/(1+1) - x^-2+1/(-2+1) + 1/2sin2x + C = 2*x²/2 - x^-1/(-1) + 1/2sin2x + C = x² + 1/x + 1/2sin2x + C.

Дополнительный комментарий:

1) Так как у любой функции может быть бесконечное множество первообразных функций, то при нахождении первообразной добавляется произвольная постоянная величина С. То есть первообразная функция f(x) записывается в виде F(x) + C.

2) Число в отрицательной степени a^-n представляется в виде дроби 1/aⁿ. Примеры: x^-2 = 1/x²,

y^-1 = 1/y.

Категория: Математический анализ
Все тесты по этому предмету

Найдите первообразную функции f(х) = 2х – 1/х2 + cos2x. ...

Решение

Рекомендуется посмотреть и остальные тесты