Сколько корней имеет уравнение cos2x - cos6x - sin4x = 0 на отрез ...

22. Сколько корней имеет уравнение cos2x - cos6x - sin4x = 0 на отрезке [0; π].

A)	6
B)	5
C)	8
D)	7

Ответ: D

Решение

Воспользуемся формулой разности косинусов двух углов:

2 2

cosα - cosβ	= -2sin	α + β	∙ sin	α - β

Учитывая, что синус является нечетной функцией, т.е. sin(-x) = -sinx, получаем:

(cos2x - cos6x) - sin4x = -2sin(2x + 6x)/2 · sin(2x - 6x)/2 - sin4x = -2sin4x·sin(-2x) - sin4x = 2sin4x·sin2x - sin4x = 0.

Вынесем sin4x за скобки:

sin4x·(2sin2x - 1) = 0.

Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю, а остальные имеют смысл.

В данном случае два множителя, каждый из которых может равняться нулю (здесь и далее k ∈ Z):

1) sin4x = 0.

4x = πk.

x = πk/4.

Выберем корни, принадлежащие промежутку [0; π]:

а) при k = 0: x = 0.

б) при k = 1: х = 1·π/4 = π/4.

в) при k = 2: х = 2·π/4 = π/2.

г) при k = 3: х = 3·π/4 = 3π/4.

д) при k = 4: х = 4·π/4 = π.

При всех других значениях k корни не войдут в промежуток [0; π].

2) 2sin2x - 1 = 0.

2sin2x = 1.

sin2x = 1/2.

2x = (-1)^k·arcsin 1/2 + πk.

2x = (-1)^k·π/6 + πk.

x = (-1)^k·π/12 + πk/2.

Выберем корни, принадлежащие промежутку [0; π]:

а) при k = 0: x = (-1)⁰·π/12 + π·0/2 = 1·π/12 + 0 = π/12.

б) при k = 1: x = (-1)¹·π/12 + π·1/2 = -1·π/12 + π/2 = π/2 - π/12 = 6π/12 - π/12 = 5π/12.

в) при k = 2: x = (-1)²·π/12 + π·2/2 = 1·π/12 + π = π/12 + π = π/12 + 12π/12 = 13π/12. Этот корень не входит в промежуток [0; π].

Как видно, уравнение имеет 7 корней на отрезке [0; π].

Категория: Алгебра
Все тесты по этому предмету