Найдите разность наибольшего и наименьшего корней уравнения х4 - ...

22. Найдите разность наибольшего и наименьшего корней уравнения х⁴ - 10х² + 9 = 0.

A)	2
B)	8
C)	1
D)	6

Ответ: D

Решение

Общий вид квадратного уравнения: ax² + bx + с = 0, где a - I коэффициент, b - II коэффициент, с - III коэффициент или свободный член.

По теореме Виета:

x₁ * x₂ = c/a.

x₁ + x₂ = - b/a.

То есть, при a = 1, произведение корней квадратного уравнения равно свободному члену (с), а сумма корней равна II коэффициенту, взятому с противоположным знаком (-b).

Например:

x² + 5x + 6 = 0. Значит:

x₁*x₂ = 6,

x₁+x₂ = -5.

То есть x₁ = -2, x₂ = -3.

Еще пример:

4x² + 7x + 8 = 0. Значит:

x₁*x₂ = 8/4,

x₁+x₂ = -7/4.

х⁴ - 10х² + 9 = 0 является биквадратным уравнением.

Воспользуемся методом замены переменных: х² = t, t > 0 (т.к. квадрат не может быть отрицательным).

Тогда:

х⁴ = (х²)² = t².

Таким образом, получаем новое квадратное уравнение относительно t:

t² - 10t + 9 = 0.

По теореме Виета:

t₁*t₂ = 9.

t₁+t₂ = 10.

t₁ = 9, t₂ = 1.

Следовательно, имеем:

1) t = х² = 9. Тогда x = -3; 3.

2) t = х² = 1. Тогда х = -1; 1.

Разность наибольшего и наименьшего корней уравнения: 3 - (-3) = 3 + 3 = 6.

Доп. комментарий:

Метод замены переменной заключается в том, что вместо сложного выражения вводится новая переменная, позволяющая сократить первоначальные расчеты.

Категория: Алгебра
Все тесты по этому предмету

Найдите разность наибольшего и наименьшего корней уравнения х4 - ...

Решение

Рекомендуется посмотреть и остальные тесты