Составьте квадратное уравнение, корни которого равны 2+√5 и ...

30. Составьте квадратное уравнение, корни которого равны 2+√5 и 2-√5.

A)	х² + 4х - 1 = 0
B)	х² - 4х - 1 = 0
C)	х² + 4х + 1 = 0
D)	х² - 4х + 1 = 0

Ответ: B

Решение

Общий вид квадратного уравнения: ax² + bx + с = 0, где a - I коэффициент, b - II коэффициент, с - III коэффициент или свободный член.

По теореме Виета:

x₁ + x₂ = - b/a.

x₁ * x₂ = c/a.

То есть, при a = 1, произведение корней квадратного уравнения равно свободному члену (с), а сумма корней равна II коэффициенту, взятому с противоположным знаком (-b).

Например:

x² + 5x + 6 = 0. Значит: x₁*x₂ = 6, x₁+x₂ = -5. То есть x₁ = -2, x₂ = -3.

Еще пример:

5x² - 7x + 8 = 0. Значит: x₁*x₂ = 8/5, x₁+x₂ = 7/5.

По условию задания корни некоего квадратного уравнения имеют значения:

х₁ = 2+√5,

х₂ = 2-√5.

По теореме Виета произведение корней равно III коэффициенту (свободному члену), а сумма корней равна II коэффициенту:

x₁*x₂ = (2+√5)*(2-√5) = 2² - √5² = 4 - 5 = -1.

x₁+x₂ = (2+√5) + (2-√5) = 2 + √5 + 2 - √5 = 4.

Таким образом, искомое уравнение: x² - 4x - 1 = 0 (II коэффициент с противоположным знаком, см. выше).

Доп. комментарий:

(a + b) и (a - b) - сопряженные числа. Их произведение дает разность квадратов двух выражений: (a + b) * (a - b) = a² - b².

Поэтому (2+√3) * (2-√3) = 2² - √3².

Категория: Алгебра
Все тесты по этому предмету

Составьте квадратное уравнение, корни которого равны 2+√5 и ...

Решение

Рекомендуется посмотреть и остальные тесты