Найдите сумму всех коэффициентов приведенного квадратного уравнен ...

26. Найдите сумму всех коэффициентов приведенного квадратного уравнения, корни которого равны 4+√3 и 4-√3.

A)	-20
B)	6
C)	22
D)	-4

Ответ: B

Решение

Общий вид квадратного уравнения: ax² + bx + с = 0, где a - I коэффициент, b - II коэффициент, с - III коэффициент или свободный член.

По теореме Виета:

x₁ + x₂ = - b/a.

x₁ * x₂ = c/a.

То есть, при a = 1, произведение корней квадратного уравнения равно свободному члену (с), а сумма корней равна II коэффициенту, взятому с противоположным знаком (-b).

Например:

x² + 5x + 6 = 0. Значит: x₁*x₂ = 6, x₁+x₂ = -5. То есть x₁ = -2, x₂ = -3.

Еще пример:

5x² - 7x + 8 = 0. Значит: x₁*x₂ = 8/5, x₁+x₂ = 7/5.

По условию задания корни некоего квадратного уравнения имеют значения:

х₁ = 4+√3,

х₂ = 4-√3.

По теореме Виета произведение корней равно III коэффициенту (свободному члену), а сумма корней равна II коэффициенту:

x₁*x₂ = (4+√3)*(4-√3) = 4² - √3² = 16 - 3 = 13.

x₁+x₂ = (4+√3) + (4-√3) = 4 + √3 + 4 - √3 = 8.

Таким образом, искомое уравнение: x² - 8x + 13 = 0 (II коэффициент с противоположным знаком, см. выше).

Сумма коэффициентов: 1 + (-8) + 13 = 1 - 8 + 13 = 14 - 8 = 6.

Комментарий:

(a + b) и (a - b) - сопряженные числа. Их произведение дает разность квадратов двух выражений: (a + b) * (a - b) = a² - b².

Поэтому (4+√3) * (4-√3) = 4² - √3².

Категория: Алгебра
Все тесты по этому предмету

Найдите сумму всех коэффициентов приведенного квадратного уравнен ...

Решение

Рекомендуется посмотреть и остальные тесты