Найдите сумму всех коэффициентов приведенного квадратного уравнен ...

25. Найдите сумму всех коэффициентов приведенного квадратного уравнения, корни которого равны 3+√5 и 3-√5.

A)	-9
B)	-1
C)	11
D)	3

Ответ: B

Решение

Общий вид квадратного уравнения: ax² + bx + с = 0, где a - I коэффициент, b - II коэффициент, с - III коэффициент или свободный член.

По теореме Виета:

x₁ + x₂ = - b/a.

x₁ * x₂ = c/a.

То есть, при a = 1, произведение корней квадратного уравнения равно свободному члену (с), а сумма корней равна II коэффициенту, взятому с противоположным знаком (-b).

Например:

x² + 5x + 6 = 0. Значит: x₁*x₂ = 6, x₁+x₂ = -5. То есть x₁ = -2, x₂ = -3.

Еще пример:

5x² - 7x + 8 = 0. Значит: x₁*x₂ = 8/5, x₁+x₂ = 7/5.

По условию задания корни некоего квадратного уравнения имеют значения:

х₁ = 3+√5,

х₂ = 3-√5.

По теореме Виета произведение корней равно III коэффициенту (свободному члену), а сумма корней равна II коэффициенту:

x₁*x₂ = (3+√5) * (3-√5) = 3² - √5² = 9 - 5 = 4.

x₁+x₂ = (3+√5) + (3-√5) = 3 + √5 + 3 - √5 = 6.

Таким образом, искомое уравнение: x² - 6x + 4 = 0 (II коэффициент с противоположным знаком, см. выше).

Сумма коэффициентов: 1 + (-6) + 4 = 1 - 6 + 4 = 5 - 6 = -1.

Комментарий:

(a + b) и (a - b) - сопряженные числа. Их произведение дает разность квадратов двух выражений: (a + b) * (a - b) = a² - b².

Поэтому (3+√5) * (3-√5) = 3² - √5².

Категория: Алгебра
Все тесты по этому предмету

Найдите сумму всех коэффициентов приведенного квадратного уравнен ...

Решение

Рекомендуется посмотреть и остальные тесты