Найдите сумму всех коэффициентов приведенного квадратного уравнен ...

24. Найдите сумму всех коэффициентов приведенного квадратного уравнения, корни которого равны 6+√2 и 6-√2.

A)	23
B)	-35
C)	47
D)	-21

Ответ: A

Решение

Общий вид квадратного уравнения: ax² + bx + с = 0, где a - I коэффициент, b - II коэффициент, с - III коэффициент или свободный член.

По теореме Виета:

x₁ + x₂ = - b/a.

x₁ * x₂ = c/a.

То есть, при a = 1, произведение корней квадратного уравнения равно свободному члену (с), а сумма корней равна II коэффициенту, взятому с противоположным знаком (-b).

Например:

x² + 5x + 6 = 0. Значит: x₁*x₂ = 6, x₁+x₂ = -5. То есть x₁ = -2, x₂ = -3.

Еще пример:

3x² - 7x + 8 = 0. Значит: x₁*x₂ = 8/3, x₁+x₂ = 7/3.

По условию задания корни некоего квадратного уравнения имеют значения:

х₁ = 6+√2,

х₂ = 6-√2.

По теореме Виета произведение корней равно III коэффициенту (свободному члену), а сумма корней равна II коэффициенту:

x₁*x₂ = (6+√2)*(6-√2) = 6² - √2² = 36 - 2 = 34.

x₁+x₂ = (6+√2) + (6-√2) = 6 + √2 + 6 - √2 = 12.

Таким образом, искомое уравнение: x² - 12x + 34 = 0 (II коэффициент с противоположным знаком, см. выше).

Сумма коэффициентов: 1 + (-12) + 34 = 1 - 12 + 34 = 35 - 12 = 23.

Комментарий:

(a + b) и (a - b) - сопряженные числа. Их произведение дает разность квадратов двух выражений: (a + b) * (a - b) = a² - b². Поэтому (6+√2) * (6-√2) = 6² - √2².

Категория: Алгебра
Все тесты по этому предмету

Найдите сумму всех коэффициентов приведенного квадратного уравнен ...

Решение

Рекомендуется посмотреть и остальные тесты