Составьте квадратное уравнение, корни которого обратны корням ура ...

23. Составьте квадратное уравнение, корни которого обратны корням уравнения х² - 20х + 96 = 0.

A)	96х² + 20х + 1 = 0
B)	96х² - 20х + 1 = 0
C)	96х² - 20х - 1 = 0
D)	96х² + 20х - 1 = 0

Ответ: B

Решение

Общий вид квадратного уравнения: ax² + bx + с = 0, где a - I коэффициент, b - II коэффициент, с - III коэффициент или свободный член.

По теореме Виета:

x₁ + x₂ = - b/a.

x₁ * x₂ = c/a.

То есть, при a = 1, произведение корней квадратного уравнения равно свободному члену (с), а сумма корней равна II коэффициенту, взятому с противоположным знаком (-b).

Например:

x² + 5x + 6 = 0. Значит: x₁*x₂ = 6, x₁+x₂ = -5. То есть x₁ = -2, x₂ = -3.

Еще пример:

3x² - 7x + 8 = 0. Значит: x₁*x₂ = 8/3, x₁+x₂ = 7/3.

Взаимно обратные числа - это числа, чье произведение равно 1. Например: 5 и 1/5, 2/3 и 3/2.

В данном примере х² - 20х + 96 = 0 по теореме Виета:

x₁*x₂ = 96,

x₁+x₂ = 20.

Корни нового уравнения будут 1/x₁ и 1/x₂, т.к. должны быть обратны корням исходного уравнения.

Значит произведение новых корней:

1/x₁ * 1/x₂ = 1/96.

Сумма новых корней:

1/x₁ + 1/x₂ = (x₂ + x₁) / (x₁ * x₂) = 20/96.

Таким образом, получается новое уравнение: х² - 20/96х + 1/96 = 0.

Умножим обе части уравнения на 96: 96х² - 20х + 1 = 0.

Есть более простой и быстрый способ решить этот тест:

Корни нового уравнения имеют те же знаки, что и в исходном уравнении, т.к. взаимно обратные числа имеют одинаковые знаки (2/3 и 3/2, -5 и -1/5). Поэтому по теореме Виета знаки коэффициентов не меняются, т.е. II коэффициент с минусом, III коэффициент с плюсом (96х² - 20х + 1 = 0).

Категория: Алгебра
Все тесты по этому предмету

Составьте квадратное уравнение, корни которого обратны корням ура ...

Решение

Рекомендуется посмотреть и остальные тесты