При каком, выраженном через а и b, значении m выражение будет пол ...

21. При каком, выраженном через а и b, значении m выражение будет полным квадратом?

A)	4/9a²b²
B)	±3/2ab
C)	9/4a²b²
D)	Правильный ответ не приведен

Ответ: D

Решение

Целое неотрицательное число x называется полным квадратом, если найдется целое число y такое, что x = y². Примеры полных квадратов:

49 = 7².

a² + 2a + 1 = (a + 1)².

4x² + 4x + 1 = (2x + 1)².

Например, 48 не является полным квадратом, т.к. нет числа, которое в квадрате дает 48.

В данном задании раскроем скобки. Перемножим x(x + a + 3b) и (x + a)(x + 3b). Получим:

(x² + ax + 3bx + 3ab)(x² + ax + 3bx) + 9m²/4.

Можно заметить, что (x² + ax + 3bx) повторяется в обеих скобках, поэтому снова раскрываем скобки, но по-особому:

(x² + ax + 3bx)(x² + ax + 3bx) + 3ab(x² + ax + 3bx) + 9m²/4 = (x² + ax + 3bx)² + 3ab(x² + ax + 3bx) + (3m/2)².

Так как по заданию основное выражение должно быть полным квадратом, применим формулу: (a ± b)² = a² ± 2ab + b², где (x² + ax + 3bx) - это a, (3m/2) - это b.

Следовательно, удвоенное произведение ±2(x² + ax + 3bx)*(3m/2) соответствует выражению 3ab(x² + ax + 3bx).

Значит:

±2(x² + ax + 3bx)*(3m/2) = 3ab(x² + ax + 3bx).

Сокращаем обе части на (x² + ax + 3bx):

±2*(3m/2) = 3ab.

Кроме этого сокращаются 2 и 3:

Остается: m = ±ab.

То есть при m = ±ab выражение

будет являться полным квадратом. Но в данном случае среди ответов нет верного, т.е. правильный ответ не приведен.

На самом деле есть более простой способ решать подобные задания. Нужно буквы заменить цифрами, желательно маленькими для удобства расчета.

Пусть a = 1, x = 1, b = 2.

Подставим их в выражение:

1(1 + 1)(1 + 3*2)(1 + 1 + 3*2) + 9m²/4.

1*2*7*8 + 9m²/4 = 112 + 9m²/4. Это выражение должно быть полным квадратом. Например, 121 = 11².

Следовательно: 9m²/4 = 9.

m²/4 = 1.

m² = 4.

m = ±2.

Подставим эти же цифры в ответы:

4/9a²b² = 4/9*1²*2² = 16/9.

±3/2ab = ±3/2*1*2 = ±3.

9/4a²b² = 9/4*1²*2² = 9.

Таким образом, ни один из ответов не соответствует m = ±2. Значит правильный ответ не приведен.

Категория: Алгебра
Все тесты по этому предмету

При каком, выраженном через а и b, значении m выражение будет пол ...

Решение

Рекомендуется посмотреть и остальные тесты