Найдите наибольшее значение ху, если известно, что 2х + у = 2W ...

18. Найдите наибольшее значение ху, если известно, что 2х + у = 2√6.

A)	2,5
B)	3
C)	-2,5
D)	4,5

Ответ: B

Решение

Значение произведения xy наибольшее, когда слагаемые 2x и y в левой части равенства принимают одинаковые значения. Пример:

Допустим сумма двух чисел равна 9 (a + b = 9).

Переберем возможные варианты:

1 и 8, тогда 1*8 = 8;

2 и 7, тогда 2*7 = 14;

3 и 6, тогда 3*6 = 18;

4 и 5, тогда 4*5 = 20;

4.4 и 4.6, тогда 4.4*4.6 = 20.24;

4.5 и 4.5, тогда 4.5*4.5 = 20.25.

Как видно, когда слагаемые одинаковы, их произведение наибольшее.

В данном случае сумма слагаемых равна 2√6, чтобы слагаемые были равны, они должны быть √6 (√6 + √6 = 2√6).

а) 2x = √6;

x = √6/2.

б) y = √6.

Требуется найти произведение:

xy = √6/2 * √6 = 6/2 = 3.

Можно решить эту задачу, используя производную:

y = 2√6 - 2x.

xy = x*(2√6 - 2x) = 2√6x - 2x².

Найдем значение функции в точке максимума:

f'(x) = (2√6x - 2x²)' = 2√6 - 4x.

Там, где f'(x) = 0, существует либо максимум, либо минимум.

f'(x) = 2√6 - 4x = 0.

2√6 = 4x.

x = √6/2.

В полученное выше выражение y = 2√6 - 2x вместо х подставим √6/2:

y = 2√6 - 2*√6/2 = 2√6 - √6.

y = √6.

Требуется найти произведение:

xy = √6/2 * √6 = 6/2 = 3.

Категория: Элементарная математика
Все тесты по этому предмету